۱۳۸۷ آذر ۲۴, یکشنبه

عبارت های جبری ( اتحاد ها )

اتحاد يك تساوي جبري است كه به ازاي جميع مقادير متغير برقرار است .
اتحادهاي مهم :
مربع مجموع دو جمله :
1)(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a,b R)
مربع تفاضل دو جمله :
2)(a-b)2 = a 2- 2ab + b2 (a,b R)
اتحاد مزدوج :
3)(a + b )(a - b) = a2 - b2 (a,b R)
اتحاد جمله مشترك :
4)(x + a)(x + b) = x 2+ (a + b)x + ab (a,b R)
اتحاد مربع مجموع سه جمله :
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a, b R)
مجموع مكعب هاي دو جمله :
(a + b) (a 2-ab + b2) = a3 + b3 (a,b R)
تفاضل مكعب هاي دو جمله :
(a - b)(a 2+ ab +b2) = a3 - b3 (a,b R)
مقدمه و معرفی
در ریاضیات اتحادها تساوی هایی هستند که به ازای هر مقدار عددی از دامنه خود که بجای متغییرهایشان قرار دهیم همواره برقرار باشند. به عنوان مثال تساوی برای هر x عضو دامنه برقرار است. لذا این عبارت جبری یک اتحاد است، اما تساوی فقط برای x=1 برقرار است. پس این عبارت یک اتحاد نمی باشد. در واقع در مورد یک اتحاد در اصل به یک تساوی بدیهی چون 0=0 می رسیم. به عنوان مثال در اتحاد مثال زده شده دو طرف ساده شده و تساوی 0=0 حاصل می شود. به این ترتیب تفاوت میان یک اتحاد جبری و یک معادله جبری در این است که اتحاد جبری به ازای همه مقادیر دامنه برقرار است در صورتی که یک معادله جبری به ازای تعداد محدودی از اعضای دامنه(مجموعه جواب معادله) برقرار است. عبارات زیر نمونه ای از اتحاد است:
اتحادهای مهم جبری
در میان اتحادهای جبری، برخی از اتحادها بسیار مهم و کاربردی می باشند و در حل معادلات، محاسبات جبری، تجزیه عبارت جبری و... بسیار کاربرد دارند. از این رو دانستن و به کاربردن آنها از اهمیت خاصی برخوردار است. در این قسمت به بررسی این اتحادهای مهم می پردازیم. اتحاد مربع مجموع دو جمله

مثال:

اتحاد مربع تفاضل دو جمله

مثال:
اتحاد مکعب مجموع دو جمله
مثال:
اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن
در دو اتحاد قبل مشاهدی کردید که عبارت مجموع با تفاضل دو جمله چون (a+b)،(a-b) به توان های دو و سه رسیدند. حال این اتحاد برای توانهای طبیعی n هم قابل تعمیم است و به آن اتحاد بسط دو جمله ای نیوتن می گویند.

مثال:

اتحاد مربع سه جمله
مثال:
تعمیم اتحاد مربع چند جمله


مثال:

اتحاد مزدوج
مثال:
· لازم به توضیح است اگر داشته باشیم a+b آنگاه عبارت a-b را مزدوج عبارت اول یعنی a+b می گویند.
اتحاد جمله مشترک
مثال:
تعمیم اتحاد جمله مشترک

مثال:


اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)
مثال:
تعمیم اتحاد مجموع مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)
پس می توان نتیجه زیر را بیان کرد:
· لازم به توضیح است که این اتحاد فقط برای حالتی برقرار ست که توان n عدد طبیعی فرد باشد.
مثال:
اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)

مثال:
تعمیم اتحاد تفاضل مکعبات دو جمله(اتحاد چاق و لاغر)
پس می توان نتیجه زیر را بیان کرد:
· لازم به توضیح است این این اتحاد برای هر عدد طبیعی n برقرار است.
مثال:
اتحاد اویلر
· برهان:


· صورتی دیگر از اتحاد اویلر:
· برهان:
· نتایج اتحاد اویلر:
o اگر a+b+c=0 آنگاه
o اگر a=b=c آنگاه
مثال:
همچنین اگر باشد آنگاه داریم:
اتحاد لاگرانژ
مثال:

· علاوه بر اتحاد های جبری ذکر شده هر عبارت دیگر که برای هر مقدار از دامنه برقرار باشد را نیز می توان به عنوان اتحاد دانست. به عنوان مثال از مهمترین این اتحاد ها، اتحاد های مثلثاتی می باشند.
مقدمه
در ریاضیات گاهی به عبارتهای بسیار خسته کننده و دشوار می‌رسیم، اما این عبارتها ، بعضی مواقع با عبارتهای معادل جایگزین می‌شوند که نسبت به عبارتهای اولیه کوتاهتر و به اصطلاح جمع و جورتر هستند. بنابراین می‌توان گفت که به نوعی بین روابط اولیه و روابط کوتاه بعدی ، وحدت یا متحد بودن برقرار است. یعنی می‌توان یک رابطه تساوی نوشت ، بگونه‌ای که عبارت طولانی‌تر در یک طرف و عبارت کوتاهتر در طرف دیگر آن قرار گیرد. چنین عبارتی را در اصطلاح ریاضیات یک اتحاد ریاضی می‌گویند. برای ورود به بحث اتحادها بهتر است ابتدا چند تعریف مقدماتی را که در برسی اتحادها مفید واقع می‌شود، بیان کنیم.
عبارت جبری
عبارت جبری ، عبارتی است که در آن اعداد و حروف با چهار عمل اصلی و توان و رادیکال به هم مربوط شده‌اند. به عنوان مثال عبارتی به صورت 3x+5xy یک عبارت جبری است که ترکیبی از حروف x و y و اعداد ا ست که با عمل جمع به هم مربوط شده‌اند.
چند جمله‌ای
در حالت کلی یک عبارت جبری به صورت
P(x)=anxn+an-1xn-1+....+a2x2+a1x1+a0
را یک چند جمله‌ای می‌گویند که در آن x متغیر بوده و ضرایب a1 , a2 , ......, an-1 , an اعدا حقیقی هستند.چند جمله‌ای فوق یک چند جمله‌ای تک متغیره است، اما یک چند جمله‌ای می‌تواند دارای متغیرهای بیشتری باشد. مثلا عبارت 2x2+5xy4+14y-18 یک چند جمله‌ای دو متغیره است. بدیهی است که هر چند جمله‌ای با تعداد جملاتش شناخته می‌شود. مثلا (P(x یک n جمله‌ای است.
درجه یک چند جمله‌ای
هر چند جمله‌ای علاوه بر تعداد جملات دارای یک ویژگی دیگر نیز می‌باشد که از آن تحت عنوان درجه چند جمله‌ای تعبیر می‌شود. طبق تعریف در هر چند جمله‌ای ، درجه نسبت به هر یک از متغیرها بزرگترین درجه آن متغیر است. درجه هر جمله نسبت همه متغیرها بزرگترین درجه آن متغیر است. درجه هر جمله نسبت به همه متغیرها با مجموع توانهای متغیرها در آن جمله برابر است و نیز درجه چند جمله‌ای نسبت به همه حروف با بیشترین درجه جملات آن برابر است. به عنوان مثال در مورد چند جمله‌ای x4+2x2y2z+z2+zxy+xy3 احکام زیر را می‌توان صادر کرد.
درجه نسبت به x برابر 4 است.
درجه نسبت به y برابر 4 است.
درجه نسبت به z برابر 2 است.
درجه نسبت به همه حروف برابر 5 است.
تفکیک عبارتهای معین و نامعین
در هر عبارت جبری ، مجموعه‌ مقادیری که می‌توانند جانشین متغییرهای آن عبارت شوند، دامنه عبارت جبری نامیده می‌شود. اما در هر عبارت جبری با توجه به نوع عملی که در آن بکار رفته است، محدودیتهایی ظاهر می‌شود. این محدودیتها منجر به تفکیک عبارتهای معین ونامعین می‌شود. به عنوان مثال در یک عبارت کسری که مخرج کسر شامل متغییر است، تنها مقادیری می‌توانند به جای متغییر قرار گیرند که مخرج کسر را صفر نکنند. به عبارت دیگر هر عبارت کسری با مخرج صفر ، عبارتی نامعین است که از لحاظ ریاضی تعریف نشده است.


عبارتهای متحد
دو عبارت جبری را متحد گویند، هرگاه ضرایب جملات متشابه در آنها یکسان باشد. دو جمله متشابه ، دو جمله‌ای را گویند که توان همه متغیرها در آنها یکسان باشد. به عنوان مثال از اتحاد (ax4+bx2+c≡(x2-2)(x+4 می‌توان نتیجه گرفت که a=1 و b=4 و c=-8 است. چون اگر عبارت طرف دوم را بسط دهیم، عبارتی به صورت x4+4x2-2x-8 حاصل می‌شود، که از مساوی قرار دادن ضرایب جملات مشابه ، مقادیر فوق بدست می‌آید.
چند جمله‌ای خیام
می توان گفت که اتحادهای جبری را می‌توان از یک رابطه کلی که به چند جمله‌ای خیام معروف است، بدست آورد. چند جمله‌ای خیام به صورت زیر بیان می‌شود. a+b)n=an+nan-1b+n(n-1)/n an-2b2+....+bn) بدیهی است که اگر بجای b مقدار (b-) را قرار دهیم، در این صورت عبارت n(a-b) حاصل می‌شود.
بسط چند جمله‌ای با استفاده از اتحادها
در اتحادهای جبری ملاحظه کردیم که در طرف اول فقط دو جمله وجود داشت. اما اگر چنانچه بیشتر از دو جمله وجود داشته باشد، بازهم می‌توان با استفاده از اتحادهای جبری ، این عبارتها را بسط داد. به عنوان مثال ، اگر بخواهیم عبارت 2(a+b+c) را بسط دهیم، در این صورت بهتر است که ابتدا به جای b+c کمیت جدید d را قرار داده و 2 (a+d) بسط می‌دهیم. حال در قدم بعدی مقدار d را جایگذاری کرده و بار دیگر با استفاده از اتحادهای جبری این جمله را نیز بسط می‌دهیم و در نهایت به رابطه زیر می‌رسیم.
a+b+c)2=a2+b2+c22ab+2ac+2bc)

هیچ نظری موجود نیست:

ارسال یک نظر